선형대수 기초 개념 정리

이 글은 포스코 AI・BigData 아카데미 교육과정에서 추천하는 선형대수 온라인 강의를 요약한 것입니다.

향후 내용이 추가될 예정입니다.

[2. 일차종속 및 독립]

일차 결합

벡터와 상수의 곱의 결합

예시) $a1v1+a2v2+…$

생성

일차 결합 계산 결과를 말한다.

일차종속 및 독립

일차(선형)독립?

한 백터에 실수배 해서 다른 벡터를 하나라도 만들어 낼 수 없다.

일차(선형)종속?

한 백터에 실수배 해서 다른 벡터를 하나라도 만들어 낼 수 있다.

예시)

(1,1)과 (2,2)

독립 VS. 종속 판별 방법

정방행렬인 경우> 행렬식으로 판별

행렬식이 0이면 종속/ 0이 아니면 독립
정방행렬이 아닌 경우> 랭크로 독립과 선형을 구분하는 방법
- 랭크 A?
  
  A행렬의 열들 중에서 일차 독립인 열들의 최대 개수
  
  =행렬의 열들로 생성될 수 있는 백터 공간의 차원
- 랭크로 독립과 선형을 구분하는 방법?
  
  각 열에 실수배를 하고 더하는 과정을 거쳤을 때,
  
  맨 마지막 열이 0으로 구성될 경우 실수배해서 생성할 수 있으므로 종속이다.

[3. 기저 및 차원]

기저(basis)

정의

백터 공간 v에 대해 s가 부분집합일 때,

집합 s가

1.v를 생성하고

2.선형독립이라면

s를 v의 기저(basis)라고 한다.

예시) 음악이라는 벡터 공간의 기저는 “도레미파솔라시도”음계이다.

흑백 공간이라는 벡터 공간의 기저는 “종이, 연필, 지우개”이다.

즉 흑백 공간을 만들기 위한 최소의 엑기스는 “종이, 연필, 지우개”이다.

특징

“기저는 여러개일 수 있다. 하지만 차원(기저의 개수)는 변하지 않는다.”

표준 기저

기저 중에 표준인 것을 의미한다.

예시)

R^2: {(1,0), (0,1)} , R2의 기저의 개수, 즉 차원은 2이다.

기저의 좌표

(3,4) = 3(1,0)+4(0,1)이므로

이때 좌표 벡터(상대좌표, 좌표행렬)은 [3,4]이다.

[4. 고유치 및 고유벡터]

📌 정의

linearalgebra-1

A행렬에 어떤 백터 v를 곱한 결과가 v에 어떤 실수 λ배 한 것과 같을 때,

v를 고유 벡터,λ를 고유치라 한다.

고유벡터는 0이 아닌 벡터이기 때문에, A-λI의 역행렬이 존재하면 안된다.

따라서 A-λI의 행렬식이 0이어야 한다.

(즉, 고유 방정식이 0이어야 한다.)

고유치 계산 방법

고유 방정식을 계산한다.

즉, 대각 성분에 λ를 빼준 뒤 행렬식 값을 구한다.

# 3X3이상 큰 행렬의 행렬식을 구할 때,

어떤 행 또는 열에 0을 포함하고 있다면,

0을 포함하는 행 또는 열의 다른 원소를 0으로 만들어준다.

이때 방법은 행 또는 열에 실수배를 하여 더하거나 빼준다.

이러한 방법으로 행렬식 원소를 0으로 만들어서 계산을 간소화 할 수 있다.

고유벡터 계산 방법

구한 고유치 값을 대각성분에서 빼준다.

(A-λI)v=0을 만족하는 x,y를 아무거나 찾아준다.

[5. 고유치 및 고유벡터의 성질]

📌Trace

Tr(A)=A행렬의 대각 행렬들을 모두 더한 것

📌 [성질 1]

A행렬의

1.고유치의 합은 trace(A)와 같다.

2.고유치의 곱은 A의 행렬식 값과 같다.

📌[성질 2]

1.A^T와 A의 고유치는 같다.

(단, 고유벡터는 같다고 보장할 수 없다.

2.A의 고유치가 lambda이면,

A^n의 고유치는 lambda^n이다.

A^(-1)의 고유치는 lambda^(-1)이다.

aA의 고유치는 alambda이다.

A+a*I의 고유치는 lambda+a이다.

📌[성질 3]

1.대칭행렬의 고유치는 항상 실수이며,

서로 다른 고유치에 해당하는 각각의 고유벡터는 수직관계를 갖는다.

(즉, 두 벡터를 내적하면 0이다.)

# 팁: 내적계산은 전치와 같다.

# 이유: 원래 벡터는 세워서 쓴느게 원칙이기 때문에, 전치를 하면 눕혀진다. 그 결과 내적 계산과 같아진다.

2.교대행렬의 고유치는 0 또는 순허수이다.

3.직교 행렬의 고유치는 1 또는 -1 및 켤례복소수이며, 그 절댓값은 항상 1이다.( 즉 $a^{2}+b^{2}=1$)

[6. 닮은 행렬과 대각화 행렬]

닮은 행렬

📌정의

$Q^{-1}AQ = B$ 일 때, (단, Q가 역행렬이 존재할 때)

A와 B는 닮은 행렬이다.

이는 “행렬의 성질이 같음을 의미한다.”

1)행렬식 값이 같다.

2)Rank값이 같다.

3)Tr(A)=Tr(B)

4)고유치가 서로 같다.(고유 벡터가 같다고 보장할 수는 없다.)

대각화 행렬

$P^{-1}AP = D$

P: 대각화 시키는 행렬 (이때, P는 A의 고유벡터로 이루어진 행렬)

D: 대각화 행렬 (A의 고유치로 이루어진 행렬)

대각화 시키는 행렬과 대각화 행렬을 구하는 방법

먼저 A행렬의 고유치와 그에 해당하는 고유 벡터를 구한다.

이때 P는 고유벡터를 세로로 놓으면 되며,

D는 대각 부분에 고유 고유벡터에 해당하는 고유치를 순서대로 넣어주면 된다.

D는 항상 존재하는가? =A 행렬은 대각화 가능한가?

무조건 존재하지는 않는다. P의 역행렬이 존재할 때만 존재한댜.

P의 역행렬이 존재하면 P의 행렬식 값이 0이 아니다.

이는 P를 이루는 고유벡터 열들이 일차독립이어야 함을 의미한다.
- 방법>
  
  1.서로 다른 고유치가 N개 존재해야한다.
  
  만약 중근을 갖는 경우, 대각화는 가능할 수도 불가능 할 수도 있다.
  
  따라서 2번째 조건을 추가로 확인한다.
  
  2.대각화가 가능하려면 일차독립인 고유벡터의 개수가 N개 존재해야한다.
  
  중근인 고유치에 해당하는 고유 벡터가 서로 다른지 확인한다.